Пусть функция =u (x,y )+iv (x,y ) определена в окрестности точки z = x +iy . Если переменной z придать приращение  z = x +i  y , то функция
получит приращение


= (z + z )–
=u (x + x , y + y )+

+ iv (x + x , y + y ) - u (x,y ) - iv (x,y ) = [u (x + x , y + y ) –

– u (x,y )] + i [v (x + x , y + y ) - v (x,y )] =

= u (x,y ) + i  v (x,y ).

Определение. Если существует предел

=

,

то этот предел называется производной от функции
в точкеz и обозначается через f (z ) или
. Таким образом, по определению,

=

=

. (1.37)

Если функция
имеет производную в точкеz , то говорят, что функция
дифференцируема в точкеz . Очевидно, для дифференцируемости функции
необходимо, чтобы функцииu (x,y ) и v (x,y ) были дифференцируемы. Однако этого не достаточно для существования производной f (z ). Например, для функции w == x –iy функции u (x,y )=x

и v (x,y )=–y дифференцируемы во всех точках M(x,y ), но предел отношения
при x 0,  y 0 не существует, так как, если  y = 0,  x  0, то  w / z = 1,

если же  x = 0,  y  0, то  w /z = -1.

Единого предела не существует. Это означает, что функция

w = не имеет производную ни в одной точке z . Для существования производной от функции комплексного переменного требуются дополнительные условия. Какие именно? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Пусть функции u (x,y ) и v (x,y ) дифферен-цируемы в точке M(x,y ). Тогда для того, чтобы функция

= u (x,y ) + iv (x,y )

имела производную в точке z = x +iy , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

Равенства (1.38) называются условиями Коши-Римана.

Доказательство . 1) Необходимость. Пусть функция
имеет производную в точке z, то есть существует предел

=

=
.(1.39)

Предел, стоящий в правой части равенства (1.39) не зависит от того, по какому пути точка  z =  x +i  y стремится

к 0. В частности, если y = 0, x  0 (рис. 1.10), то

Если же x = 0, y  0 (рис. 1.11), то

(1.41)

Рис.1.10 Рис. 1.11

Левые части в равенствах (1.40) и (1.41) равны. Значит равны и правые части

Отсюда следует, что

Таким образом, из предположения о существовании производной f (z ) следует выполнение равенств (1.38), то есть условия Коши-Римана необходимы для существования производной f (z ).

1) Достаточность. Предположим теперь, что равенства (1.38) выполнены:

и докажем, что в этом случае функция
имеет производную в точкеz = x +iy , то есть предел (1.39)

=

существует.

Так как функции u (x,y ) и v (x,y ) дифференцируемы в точке M(x,y ), то полное приращение этих функций в точке M(x,y ) можно представить в виде

,

где  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 при x 0, y 0.

Так как, в силу (1.38),

Следовательно,

=
,

 1 =  1 +i  1 0,  2 =  2 +i  2 0 при z = x +i y 0.

Таким образом,

Так как z  2 = x  2 +y  2 , то x / z 1, y/ z 1. Поэтому

при z  0.

Отсюда следует, что правая часть равенства (1.42) имеет предел при  z  0, следовательно, и левая часть имеет предел при  z  0, причем этот предел не зависит от того, по какому пути  z стремится к 0. Таким образом, доказано, что если в точке M(x,y ) выполнены условия (1.38), то функция
имеет производную в точкеz = x +iy , причем

.

Теорема доказана полностью.

В процессе доказательства теоремы получены две формулы (1.40) и (1.42) для производной от функции комплексного переменного

,

.

С помощью формул (1.38) можно получить еще две формулы

, (1.43)

. (1.44)

Если функция f (z ) имеет производную во всех точках области D, то говорят, что функция
дифференцируема в области D. Для этого необходимо и достаточно, чтобы условия Коши-Римана выполнялись во всех точках области D.

Пример. Проверить условия Коши-Римана для

функции e z .

Так как e z = e x+iy = e x (cosy + i siny ),

то u (x , y ) = Ree z = e x cosy , v (x , y ) = Ime z = e x siny ,

,
,

,
,

следовательно,

Условия Коши - Римана для функции e z выполнены во всех точках z. Таким образом, функция e z дифференцируема на всей плоскости комплексной переменной, причем

Точно так же доказывается дифференцируемость

функций z n , cos z , sin z , chz , shz , Lnz , и справедливость формул

(z n ) = n z n-1 , (cosz ) = -sinz , (sinz ) = cosz ,

(chz ) = shz , (shz ) = chz , (Lnz ) = 1/z .

Для функций комплексного переменного остаются в силе все правила дифференцирования функций действительного переменного. Доказательство этих правил вытекает из определения производной так же, как и для функций действительного переменного.

Функции комплексной переменной.
Дифференцирование функций комплексной переменной.

Данная статья открывает серию уроков, на которых я рассмотрю типовые задачи, связанные с теорией функций комплексной переменной. Для успешного освоения примеров необходимо обладать базовыми знаниями о комплексных числах. В целях закрепления и повторения материала достаточно посетить страницу . Также потребуются навыки нахождения частных производных второго порядка . Вот они какие, эти частные производные… даже сам сейчас немного удивился, насколько часто встречаются…

Тема, которую мы начинаем разбирать, не представляет особых сложностей, и в функциях комплексной переменной, в принципе, всё понятно и доступно. Главное, придерживаться основного правила, которое выведено мной опытным путём. Читайте дальше!

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной , то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Пример 1

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Пример 2

Найти действительную и мнимую часть функции

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана :

Только в этом случае будет существовать производная!

Пример 3

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:

– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

2) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные :

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной?

Производную можно найти по формуле:

В данном случае:

Таким образом

Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку:

Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно

Зеркальная формула для нахождения производной:

В данном случае: , поэтому:

Пример 4

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку.

Усложним наши функции:

Пример 5

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:

Определим действительную и мнимую части данной функции:

Внимание и еще раз внимание!

Так как , то:


Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Проверка второго условия:

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:

Вычислим значение производной в требуемой точке:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:

Пример 6

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .

Решение и образец чистового оформления в конце урока.

В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.

Сначала о так называемых формулах Эйлера :

Для любого действительного числа справедливы следующие формулы:

Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.

Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:

Пример 7

Найти производную.

Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:

Поскольку , то:

(1) Подставляем вместо «зет».

(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.

(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.

(4) Используем школьное действие со степенями.

(5) Для множителя используем формулу Эйлера , при этом .

(6) Раскрываем скобки, в результате:

– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:

Пример 9

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.

Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:

Поскольку , то:

1) Подставляем вместо «зет».

(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса . В этих целях раскрываем скобки.

(3) Используем формулу , при этом .

(4) Используем чётность гиперболического косинуса : и нечётность гиперболического синуса : . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.

В итоге:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.

С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:

Пример 10

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.

Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…

Пример 11

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Решение: Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции.
Если , то

Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?

Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение , он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников . Вспоминаем школьную формулу . В знаменателе у нас уже есть , значит, сопряженным выражением будет . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на :

Пусть функция W = f (Z ) задана на некотором множестве иZ 0 , принадлежащая E , предельная точка этого множества. Придадим Z 0 = x 0 + i · y 0 приращение ΔZ = Δx + i · Δy , чтобы точка Z = Z 0 + ΔZ принадлежала множеству Е . Тогда функция W = u + i · v = f (Z ) = u (x , y )+ i · v (x , y ). Получим приращение ΔW = Δu + i · Δv = f (Z 0 + ΔZ ) - f (Z 0 ) = Δf (Z 0 ) ,
.

Если существует конечный предел
, то он называетсяпроизводной функции f (Z ) в точке Z 0 по множеству E , и обозначается
,
,
, W " .

Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.

В определении производной функции f (x ) вещественной переменной в точке х 0 , x → х 0 вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f (Z ), Z может стремиться к Z 0 по любому пути плоскости, ведущему в точку Z 0 .

Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.

Пример.

Рассмотрим функцию W = = x - i · y . Покажем, что эта функция не имеет производной ни в одной точке. Возьмем любую точку Z 0 = x 0 + i · y 0 , придадим ей приращение ΔZ = Δx + i · Δy , тогда функция получит приращение . Значит

,
,

Будем вначале рассматривать ΔZ = Δx + i · Δy такие, что Δx → 0 , а Δy = 0 , т. е. точка Z 0 + ΔZ → Z 0 по горизонтальной прямой. При этом мы получим, что

Будем теперь рассматривать приращение ∆Z такими, что ∆x = 0 , а ∆y → 0 , т.е. когда Z 0 + ∆ Z → Z 0 по вертикальной прямой, при этом очевидно будет
.

Полученные пределы различные, поэтому отношение не имеет предела при∆ Z → 0 , то есть функция
не имеет производной в любой точкеZ 0 .

Выясним смысл производной по множеству. Пусть E – действительная ось, и W = f (Z ) = x , тогда это есть обычная вещественная функция вещественной переменной f (x ) = x и ее производная будет равна 1 (
).

Пусть теперь Е – это вся плоскость (Z) . Покажем, что функция f (Z ) = x в этом случае не имеет производной ни в одной точке. Действительно, в данном случае
.Отсюда видно, что если
а
, то
. Если же
, а
, то
.Следовательно, отношение не имеет предела при
, поэтому функция f (Z ) = x не имеет производной ни в одной точке
.

Отметим, что если рассматривается комплексно-значная функция вещественной переменной , то из определения производной непосредственно вытекает, что
, следовательно,(этопроизводная по вещественной оси).

Формула для приращения функций.

Пусть функция W = f (Z ) имеет в точке Z 0 производную
. Покажем, что имеет место представление(1), где величина
, когда
.

Действительно, по определению производной имеем
, следовательно, величина
, когда
. Поэтому имеет место представление (1) (умножим обе части на
и перенесем
в левую часть).

Лекция №8 Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного

Функция W = f (Z ) называется дифференцируемой в точке Z 0 , если в этой точке имеет место представление (2), гдеA – фиксированное комплексное число, а величина
стремится к нулю, когда
.

Если функция W = f (Z ) дифференцируема в точке Z 0 , то главная линейная относительно
ее частьA ·
приращение
в точкеZ 0 называется дифференциалом функции f (Z ) в точке и обозначается
.

Имеет место теорема.

Теорема.

Для того чтобы функция W = f (Z ) была дифференцируема в точке Z 0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную
, при этом всегда оказывается, что в представлении (2)
.

Доказательство .

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке Z 0 . Покажем, что она имеет в этой точке конечную производную, и что эта производная равна числу А . В силу дифференциации f (Z ) в точке Z 0 имеет место представление (2), значит
(3). Производя здесь предельный переход при
получим, что
, значит
.

Достаточность. Пусть функция f (Z ) имеет в точке Z 0 конечную производную
. Покажем, что имеет место представление (2). В силу существования производной
имеет место представление (1), но это и есть представление (2), в которомA =
. Достаточность установлена.

Как мы знаем, дифференциал , принимая в качестве дифференциала независимой переменнойZ ее приращение
, то есть, полагая
, мы можем записать
и поэтому
(это отношение дифференциалов, а не единый символ).

Рассмотрим некоторую комплексную величину $w$, которая задается выражением $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.

Данная величина является комплексной функцией вещественного переменного.

Определение 1

Функция $w(z)$ называется аналитической в некоторой точке z, если данная функция дифференцируема в некоторой окрестности данной точки z.

Определение 2

Функция называется аналитической в некоторой области D, если она является аналитической в каждой точке данной области.

Пусть функции $u(x),\, \, \, v(x)$ являются дифференцируемыми.

Определение 3

Выражение $w_{x} "=u"_{x} (x,y)+i\cdot v"_{x} (x,y)$ называется производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу$x$.

Аналогично определяется производная по действительному аргументу$y$.

Для вычисления производной воспользуемся следующей формулами:

\ \

1) Для функции $w=(3x+2)+(x^{3} +2y)\cdot i$ получаем:

\ \

2) Для функции $w=(x+e^{y})+(3y^{2} +\ln x)\cdot i$ получаем:

\ \

Для того чтобы некоторая функция $w(z)$ являлась дифференцируемой в некоторой точке $z_{0} =x_{0} +y_{0} \cdot i$, необходимо и достаточно, чтобы $u(x,y)$ и $v(x,y)$ являлись дифференцируемыми в точке $(x_{0} ;y_{0})$ и выполнялись следующие условия:

\[\begin{array}{l} {\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} } \\ {\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} =-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} } \end{array}.\]

Данные условия называются условиями Коши-Римана.

Примечание 1

Условия Коши-Римана являются соотношениями, которые связывают вещественную и мнимую части дифференцируемой функции $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.

Выделим действительную и мнимую части функции. Положим $z=x+yi$ и получим:

Следовательно, $u(x,y)=e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)$ - искомые действительная и мнимая части функции.

Воспользуемся условиями Коши-Римана: $\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y} ;\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x} $.

\[\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial x} =2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x);\frac{\partial v}{\partial y} =2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)} \\ {2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)=2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)} \end{array}\] \[\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial y} =2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\frac{\partial v}{\partial x} =-2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x)} \\ {2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x)=-(-2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x))} \end{array}\]

Условия Коши-Римана выполняются для любых действительных $x,y$. Следовательно, функция является аналитической для любых действительных $x,y$.

Найдем производную функции и вычислим значение производной функции в заданной точке $z_{0} =\frac{\pi }{6} $.

Производная функции имеет вид:

Вычислим значение производной функции в заданной точке

На практике можно встретить следующие задачи.

Задача 1

По заданной действительной части $u(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $v(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.

Задача 2

По заданной мнимой части $v(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $u(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.

Алгоритм решения задачи 2 будет следующим:

• найти действительную часть с помощью условий Коши-Римана;
• составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
• выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline{z}=x-yi$.

Замечание 1

При решении практических задач могут пригодиться следующие соотношения:

\ \ \

Замечание 2

Операция деления на мнимую единицу $i$ равносильна операции умножения на $-i$.

Пример 3

По действительной части $u(x,y)=-x^{2} +y^{2} -5y$ некоторой функции комплексной переменной восстановить ее мнимую часть $v(x,y)$ и восстановить данную функцию, при этом функция удовлетворяет начальному условию $w(0)=0$.

Найдем мнимую часть $v(x,y)$ искомой функции $w(z)$. Воспользуемся первым условием Коши-Римана:

\[\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} .\]

Подставим исходные значения и получим:

\[\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} =\frac{\partial (-x^{2} +y^{2} -5y)}{\partial x} =-2x\] \ \

Найдем неизвестную функцию $\phi (x)$.

Воспользуемся вторым условием Коши-Римана:

\[\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} =-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} .\] \ \[\phi "(x)=5\Rightarrow \phi (x)=\int 5dx =5x+C\]

Следовательно,

Мнимая часть искомой функции $w(z)$ восстановлена, тогда можем записать саму функцию:

Преобразуем полученное выражение:

\ \[=-x^{2} +y^{2} -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^{2} +y^{2} -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci=\] \[=-(x^{2} +2xyi-y^{2})+5i\cdot (x-\frac{y}{i})+Ci\] \

Используя начальное условие $w(0)=0$, найдём значение константы $C$.

Следовательно, искомая функция имеет вид:

Мнимая часть функции примет вид.

Теорема

Для того чтобы функция w = f (z ) , определённая в некоторой области D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке z 0 = x 0 + i y 0 как функция комплексного переменного z , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части u и v были дифференцируемы в точке (x 0 ,y 0) как функции вещественных переменных x и y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши - Римана:

; ;

Если условия Коши - Римана выполнены, то производная f "(z ) представима в любой из следующих форм:

Доказательство

Следствия

История

Эти условия впервые появились в работе д"Аламбера (1752 г.). В работе Эйлера , доложенной Петербургской академии наук в 1777 г. , условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 г. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 г.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. - М.: Наука , . - 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. - 2-е изд., перераб. - М.: Наука , . - 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. - М.-Л.: Государственное издательство, . - 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. - 2-е изд., перераб. и дополн. - М.: Наука , . - 472 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Условия Коши - Римана" в других словарях:

Римана, называемые также условиями д’Аламбера Эйлера соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного. Содержание 1 Формулировка … Википедия

Условия Коши Римана, или условия Д’Аламбера Эйлера условия на вещественную u = u(x,y) и мнимую v = v(x,y) части функции комплексного переменного, обеспечивающие бесконечную непрерывную дифференцируемость f(z) как функции комплексного… … Википедия

Д Аламбера Эйлера условия, условия на действительную и=и(х, у).и мнимую v= v(x, у).части функции комплексного переменного обеспечивающие моногенность и аналитичность f(z) как функции комплексного переменного. Для того чтобы функция w=f(z),… … Математическая энциклопедия

Огюстен Луи Коши Augustin Louis Cauchy … Википедия

Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ … Википедия

Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ … Википедия

Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ … Википедия

Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ … Википедия