Практически все системы управления, строго говоря, являются нелинейными, т.е. описываются нелинейными уравнениями. Линейные системы управления являются их линейными моделями, которые получаются путем обычной линеаризации - линеаризации, состоящей в разложении нелинейных функций в ряд Тейлора и отбрасывании нелинейных слагаемых. Однако такая линеаризация не всегда возможна. Если нелинейность допускает обычную линеаризацию, то такая нелинейность называется несущественной. В противном случае нелинейность называется существенной. Существенными нелинейностями обладают всякого рода релейные элементы. Даже в тех случаях, когда обычная линеаризация возможна, часто на конечном этапе исследования может потребоваться рассмотрение исходной нелинейной модели.
Нелинейной системой автоматического регулирования называют такую систему, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением.
Виды нелинейных звеньев:
звено релейного типа;
звено с кусочно-линейной характеристикой;
звено с криволинейной характеристикой любого очертания;
звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации;
нелинейное звено с запаздыванием;
нелинейное импульсное звено;
логическое звено;
звенья, описываемые кусочно-линейными ДУ, в том числе с переменной структурой.
На рис. 2.1 представлены релейные характеристики разных видов:
характеристика идеального реле (а);
характеристика реле с зоной нечувствительности (б);
характеристика реле с гистерезисом (в);
характеристика реле с зоной нечувствительности и гистерезисом (г);
характеристика квантования по уровню (д).
На рис. 2.2 представлены кусочно-линейные характеристики:
кусочно-линейная характеристика с насыщением (а);
кусочно-линейная характеристика с зоной нечувствительности и насыщением (б)
кусочно-линейная характеристика с зоной нечувствительности (в);
люфт (характеристика звена с люфтом) (г);
диодная характеристика (д);
кусочно-линейная характеристика с гистерезисом и насыщением (е).
Различаются статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, вторые – в виде нелинейных дифференциальных уравнений.
Привод регулирующего органа, каким бы он ни был (электрическим, гидравлическим или пневматическим) всегда имеет, во-первых, зону нечувствительности в начале координат; во-вторых, зону насыщения по краям. Кроме того, может иметь место еще гистерезис. Также существуют приводы с постоянной скоростью, относящиеся к звеньям релейного типа.
Зона нечувствительности выражается тем, что двигатель имеет определенный минимальный ток трогания, до достижения которого двигатель будет неподвижен.
ГИСТЕРЕЗИС (от греч. hysteresis - отставание, запаздывание), явление, которое состоит в том, что физ. величина, характеризующая состояние тела (напр., намагниченность), неоднозначно зависит от физ. величины, характеризующей внешние условия (напр., магнитного поля). Г. наблюдается в тех случаях, когда состояние тела в данный момент времени определяется внешними условиями не только в тот же, но и в предшествующие моменты времени. Неоднозначная зависимость величин наблюдается в любых процессах, т. к. для изменения состояния тела всегда требуется определённое время (время релаксации) и реакция тела отстаёт от вызывающих её причин.
Нелинейные системы по сравнению с линейными обладают рядом принципиальных особенностей. В частности, такими особенностями является следующее:
Не выполняется принцип суперпозиции, и исследование нелинейной системы при нескольких воздействиях нельзя сводить к исследованию при одном воздействии;
Устойчивость и характер переходного процесса зависят от величины начального отклонения от положения равновесия;
При фиксированных внешних воздействиях возможны несколько (а иногда и бесконечное множество) положений равновесия;
Возникают свободные установившиеся процессы, которые в линейных системах невозможны (например, автоколебания).
Универсальных аналитических (математических) методов исследования нелинейных систем нет. В процессе развития теории автоматического управления были разработаны различные математические методы анализа и синтеза нелинейных систем, каждый из которых применим для определенного класса систем и задач. Наиболее широко используемыми методами исследования нелинейных систем являются:
Метод фазовой плоскости;
Метод функций Ляпунова;
Метод гармонической линеаризации (метод гармонического баланса) ;
Методы исследования абсолютной устойчивости.
Любое исследование более или менее сложных нелинейных систем, как привило, заканчивается математическим моделированием. И в этом отношении математическое моделирование является одним из универсальных (неаналитических) методов исследования.
Фазовая плоскость
Если уравнения системы управления представлены в нормальной форме, то вектор состояния системы однозначно определяет ее состояние. Каждому состоянию системы в пространстве состояний соответствует точка. Точка, соответствующая текущему состоянию системы, называется изображающей точкой. При изменении состояния изображающая точка описывает траекторию. Эта траектория называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, соответствующая всевозможным начальным условиям, называется фазовым портретом.
Наглядно фазовую траекторию и фазовый портрет можно представить в случае двухмерного фазового пространства. Двухмерное фазовое пространство называется фазовой плоскостью.
Фазовая плоскость - это координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка.
Метод анализа и синтеза системы управления, основанный на построении фазового портрета, называют методом фазовой плоскости.
По фазовому портрету можно судить о характере переходных процессов. В частности, по фазовой траектории можно построить без расчетов качественно временную характеристику - кривую зависимости х от времени, и, наоборот, по временной характеристике можно качественно построить фазовую траекторию.
В качестве примера сначала по фазовой траектории построим временную характеристику, а затем по временной характеристике - фазовую траекторию. Пусть задана фазовая траектория (рис. 2.4, а).
Отметив на ней характерные точки (начальную точку, точки пересечения с осями координат), нанесем соответствующие им точки на временной плоскости и соединим их плавной кривой (рис. 2.4, б).
Пусть теперь задана временная характеристика (рис. 2.5, а). Отметив на ней характерные точки (начальную точку, точки экстремума и точки пересечения с временной осью), нанесем соответствующие им точки на фазовую плоскость и соединим их плавной кривой
(рис. 2.5,6).
Фазовые портреты нелинейных систем могут содержать тип особой кривой - изолированные замкнутые траектории. Эти кривые называются предельными циклами . Если изнутри и снаружи фазовые траектории сходятся к предельному циклу (рис. 2.8, а),
то такой предельный цикл называется устойчивым предельным циклом. Устойчивому предельному циклу соответствует асимптотически орбитально-устойчивое периодическое движение (автоколебания).
Если фазовые траектории изнутри и снаружи предельного цикла удаляются от него (рис. 2.8,6), такой предельный цикл называется неустойчивым предельным циклом. Периодический процесс, соответствующий неустойчивому предельному циклу, нельзя наблюдать.
Если движение начинается внутри такого предельного цикла, то процесс сходится к положению равновесия. Если движение начинается вне такого предельного цикла, то процесс расходится. Неустойчивый предельный цикл служит границей области притяжения, или границей устойчивости положения равновесия (начала координат).
Возможны два предельных цикла (рис. 2.8, в, г). Внутренний пре-
предельный цикл на рис. 2.8, в устойчив, и ему соответствуют автоколебания, а наружный предельный цикл неустойчив и является границей области автоколебаний: автоколебания возникают при любых начальных отклонениях, не выходящих за наружный предельный цикл.
Наружный предельный цикл на рис. 2.8, г является устойчивым и соответствует автоколебаниям, а внутренний предельный цикл является неустойчивым и является границей области притяжения положения равновесия. В системе с таким фазовым портретом автоколебания возникают при достаточно большом отклонении системы от положения равновесия - отклонении, выходящем за пределы внутреннего предельного цикла. Если движение системы начинается внутри неустойчивого предельного цикла, то она приближается к положению равновесия.
Метод гармонической линеаризации
Метод гармонической линеаризации, или метод гармонического баланса, первоначально был разработан для исследования периодического режима. Однако в дальнейшем он стал использоваться также для анализа устойчивости и синтеза нелинейных систем.
Основная идея метода состоит в следующем. Управляемые системы (объекты), как правило, обладают свойством фильтра низких частот: при возникновении периодических режимов они не пропускают или пропускают с большим ослаблением вторые и более высокие гармоники. И суть метода гармонической линеаризации состоит в описании нелинейного звена линейным уравнением, которое получается при пренебрежении (отбрасывании) указанными гармониками в разложении нелинейной функции в ряд Фурье.
Метод гармонической линеаризации является приближенным методом. Однако его достоинством является то, что он применим для систем любого порядка, в отличие от метода фазовой плоскости, который может быть эффективно применен только к системам 2-го порядка.
Метод Гольдфарба (метод исследования симметричных автоколебаний)
Метод функций Ляпунова
Метод исследований, основанный на построении функции Ляпунова, включая прямой метод Ляпунова, стали называть методом функций Ляпунова.
Метод исследования абсолютной устойчивости
Впервые задача об абсолютной устойчивости была рассмотрена А. И. Лурье, и ее иногда называют задачей Лурье. Им был разработан метод решения этой задачи, основанный на построении функции Ляпунова. В 1961г. румынский ученый В.М. Попов опубликовал работу, в которой изложил частотный метод решения этой проблемы. Это повлекло за собой появление большого потока работ в этом направлении.
Для заданий:
Связь переходного процесса и фазового портрета:
(Бесекерский-Попов стр 595 много всего)
Наличие нелинейностей в системах управления приводит к описанию такой системы нелинейными дифференциальными уравнениями, часто достаточно высоких порядков. Как известно, большинство групп нелинейных уравнений не решается в общем виде, и можно лишь говорить о частных случаях решения, поэтому при исследовании нелинейных систем большую роль приобретают различные приближенные методы.
Посредством приближенных методов исследования нелинейных систем нельзя, как правило, получить достаточно полное представление о всех динамических свойствах системы. Однако с их помощью можно ответить на ряд отдельных существенных вопросов, таких как вопрос устойчивости, наличия автоколебаний, характера каких-либо частных режимов и т.п.
В настоящее время существует большое число различных аналитических и графо-аналитических методов исследования нелинейных систем, среди которых можно выделить методы фазовой плоскости, припасовывания, точечных преобразований, гармонической линеаризации, прямой метод Ляпунова, частотные методы исследования абсолютной устойчивости Попова, методы исследования нелинейных систем на электронных моделях и ЭВМ.
Краткая характеристика некоторых из перечисленных методов.
Метод фазовой плоскости является точным, но имеет ограниченное применение, так как практически неприменим для систем регулирования, описание которых нельзя свести к управлениям второго порядка.
Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам, он не имеет ограничений по порядку дифференциальных уравнений. При применении этого метода предполагается, что на выходе системы имеются гармонические колебания, а линейная часть системы регулирования является фильтром высоких частот. В случае слабой фильтрации сигналов линейной частью системы при использовании метода гармонической линеаризации необходимо учитывать высшие гармоники. При этом усложняется анализ устойчивости и качества процессов регулирования нелинейных систем.
Второй метод Ляпунова позволяет получить лишь достаточные условия устойчивости. И если на его основе определена неустойчивость системы регулирования, то в ряде случаев для проверки правильности полученного результата следует заменить функцию Ляпунова на другую и еще раз выполнить анализ устойчивости. Кроме того, не существует общих методов определения функции Ляпунова, что затрудняет практическое применение этого метода.
Критерий абсолютной устойчивости позволяет анализировать устойчивость нелинейных систем с помощью частотных характеристик, что является большим преимуществом данного метода, так как объединяет математический аппарат линейных и нелинейных систем в единое целое. К недостаткам этого метода следует отнести усложнение расчетов при анализе устойчивости систем с неустойчивой линейной частью. Поэтому для получения правильного результата по устойчивости нелинейных систем приходится пользоваться различными методами. И только совпадение различных результатов позволит избежать ошибочных суждений об устойчивости или неустойчивости проектируемой системы автоматического регулирования.
Критерий устойчивости Попова В.М.
(румынский ученый)
Это частотный метод исследования устойчивости НЛ САУ с однозначной нелинейностью, удовлетворяющей условию
Рассматривается устойчивость положения равновесия
Достаточные условия абсолютной устойчивости таких систем сформулированы Поповым В.М.
1.Вводится передаточная функция
Предполагается,
что
соответствует асимптотически устойчивой
системе (проверяется по любому из
критериев устойчивости).
2.Находится частотная
характеристика
.
3.Строится
видоизмененная частотная характеристика
,
которая определяется соотношением
Re
=Re
,
Im
=
.
4.На комплексной
плоскости строится
.
Критерий Попова:
Если через точку
на действительной оси можно провести
прямую линию так, чтобы видоизмененная
АФЧХ
лежала по одну сторону от этой прямой,
то замкнутая НЛ САУбудет
абсолютно устойчива.
Пример. Исследовать абсолютную устойчивость НЛ САУ со структурной схемой рис.1, если
Так как все
в характеристическом уравнении 2-го
порядка больше нуля, то
- асимптотически устойчива и, следовательно,
условие (1) критерия устойчивости Попова
выполняется.
Re
=Re
=
Im
=
Im
=
Строим
АФЧХ
.
Асимптотическая устойчивость для специального вида
нелинейных характеристик
1.Неоднозначная нелинейная характеристика
Состояние покоя будет абсолютно устойчивым, если
1.
соответствует асимптотически устойчивой
системе.
2.
2.Система с релейной характеристикой
r =0 . Это частный случай рассмотренной выше характеристики.
Достаточное условие абсолютной устойчивости – вместо условия (2)
3.Нелинейность типа реле
1.
- асимптотически устойчива.
2.Im
Абсолютная устойчивость процессов
Рассмотрим теперь
устойчивость не систем стабилизации
(номинальный режим – состояние покоя),
а случай, когда номинальный режим
характеризуется входным сигналом
и выходным сигналом
,
которые являютсяограниченными
непрерывными
функциями времени.
Будем предполагать,
что нелинейный элемент имеет вид
,
где
- непрерывная однозначная функция,
удовлетворяющая условию
т.е. ограничена
скорость изменения нелинейной
характеристики. Это достаточно жесткое
условие.
В этом случае для
обеспечения абсолютной устойчивости
ограниченного процесса
,
достаточно, чтобы выполнялись условия6
1.
-
было асимптотически устойчива.
2.
.
В частном случае, когда r =0
или
Теория, связанная с развитием идей Попова еще не закончена, здесь возможны новые более сильные результаты. Сводка таких результатов на сегодняшний день имеется в книге Наумова «Нелинейные системы автоматического управления».
Приближенные методы исследования нелинейных сау
Метод гармонического баланса
При исследовании
НЛ САУ иногда можно наблюдать появление
периодических изменений выходной
величины у(t
)
даже в тех случаях, когда
Если при изучении САУ ограничитьсялинейной
моделью с постоянными коэффициентами,
то указанное явление (собственные
колебания) может иметь место только
при наличии в характеристическом
уравнении чисто мнимых корней
.
Однако при таком объяснении малое изменение параметров системы «сдвинет» корень с мнимой оси налево или направо и собственные колебания либо затухают либо раскачиваются. На практике же в нелинейных системах периодические колебания выходного сигнала сохраняются при малых изменениях параметров системы.
Такого рода незатухающие колебания объясняются нелинейным характером системы. Они называются автоколебаниями.
Рассмотрим метод гармонического баланса, который позволяет по взаимному протеканию АФЧХ линейной части и и характеристики нелинейного элемента определить наличие или отсутствия автоколебаний.
Рассмотрим одноконтурную систему, в которой выделяется нелинейный элемент
(1)
и линейная часть
с передаточной функцией
.
Предполагается:
1.
соответствует устойчивой системе,
2. нелинейная
характеристика
- нечетная симметричная, т.е.
,
3.входной сигнал
,
т.е. это система стабилизации.
Будем искать выходной сигнал у(t ) в виде
,
(2)
где
-
амплитуда автоколебаний,
-
частота автоколебаний.
и
надо определить.
Гипотеза о синусоидальном характере у(t ) выглядит произвольной. Однако далее будут приведены условия, при выполнении которых эта гипотеза становится естественной.
Поскольку
,(3)
Пропустим сигнал
последовательно через нелинейный
элемент и линейную часть и найдем
уравнения, их которых можно будет
определить амплитуду
и частоту
автоколебаний в НЛ САУ.
Прохождение
через линейный элемент
Так как
-
периодическая
функция, то сигнал
на выходе
нелинейного
элемента
также будет
периодической функцией, но отличной от
синусоиды.
Спектр
Спектр
Как известно, любая периодическая функция может быть представлена рядом Фурье:
(4)
Мы предполагаем, что свободный член в формуле (4) равен нулю. Это будет иметь место, например, когда характеристика нелинейного элемента удовлетворяет условию
,
т.е это нечетная функция.
Здесь коэффициенты
Фурье
и
определяются:
,
(5)
Преобразуем (4) ,
умножив и поделив каждый член в правой
части на
(6)
.
Напомним, что
(8)
Таким образом при
прохождении сигала
через нелинейный элемент, на выходе
нелинейного элемента сигал
содержит множество гармоник, кратных
.
(см. рисунок выше).
Прохождение
сигнала
через
линейную часть
Из теории
линейных систем мы знаем, что если на
вход линейного звена с передаточной
функцией
,
соответствующей устойчивой системе,
подать гармонический сигналто в установившемся режиме на выходе
этого звена будет сигнал.
Здесь
-
модуль частотной характеристики
в точке
,
аргумент
.
Используя эти
соотношения, мы можем выписать выражения
для
,
пропуская по отдельности через линейную
часть все составляющие ряда (8) и суммируя
затем полученные выражения для
В силу линейности системы такая процедура законна.
Получим, полагая
:
Полученное выражение
(9) для
имеет достаточно сложную структуру.
Его можно существенно упростить,
используягипотезу
фильтра.
Изучая частотные
характеристики типовых элементарных
звеньев, мы видели, что их АЧХ стремятся
к нулю при
Гипотеза фильтра состоит в том, что АЧХ в правой части (9) убывает с ростом частоты настолько быстро, что в (9) можно учитывать лишь первый член, соответствующий к=1 , и считать остальные члены пренебрежимо малыми. Другими словами – гипотеза фильтра – это гипотеза о том, что линейная часть САУ практически не пропускает высокочастотные колебания. Поэтому формула (9) (и в этом состоит приближенность метода) упрощается следующим образом:
Таким образом, при замыкании системы в предположении гипотезы фильтра мы получим баланс гармоник (отсюда и название метода – метод гармонического баланса)
Рассмотрим как с
помощью метода
гармонического
баланса
определить амплитуду а
и частоту
автоколебаний.
Введем понятие эквивалентной передаточной функции нелинейного элемента:
(11)
Если
(а это имеет место при однозначных
симметричных нелинейных характеристиках),
то
(12)
Характеристическое уравнение замкнутой САУ (рис.1) имеет вид:
или частотная характеристика
(13)
(14)
Представим
Тогда уравнение (14) перепишется:
=
(17)
Равенство (14) или
(17) является основой графо-аналитического
метода определения параметров
автоколебаний а
и
.
На комплексной плоскости строится АФЧХ линейной части
и характеристика нелинейного элемента
Если кривые пересекаются, то в САУ существуют автоколебания.
Частота автоколебаний
в точке пересечения кривых по
, а амплитуда- по
.
Рассмотрим подробнее выделенный участок
Мы знаем амплитуду и частоту точек, ближайших к точке пересечения кривых. Амплитуду и частоту в точке пересечения можно определить, например, методом деления отрезка пополам.
Метод гармонической линеаризации
Это очень эффективный приближенный метод определения периодических колебаний в НЛ САУ.
Для применения метода гармонической линеаризации нелинейности необходимо выполнение требования – линейная часть должна обладать свойствами фильтра, т.е. она не должна пропускать высокие частоты.
На практике это требование обычно выполняется.
Пусть имеется нелинейный элемент
(1)
Пусть
(2)
Тогда
(3)
Разложим (1) в ряд Фурье:
Напомним, нелинейная функция F (x ) , разложенная в ряд Фурье, имеет вид:
,
,
,
Тогда ряд Фурье для нашей нелинейности будет иметь вид:
++высшие
гармоники (4)
Положим постоянную
составляющую
Из уравнения (2):
Из уравнения (3):
Тогда уравнение (4) можно переписать:
,
В уравнении (5) пренебрегаем высокими частотами и в этом приближенность метода.
Таким образом,
нелинейный элемент при
заменяется линеаризованным выражением
(5), которое при выполнении гипотезы
фильтра линейной части принимает вид:
(6)
Эта процедура называется гармонической линеаризацией.
Коэффициенты
и
припостоянных
а
и
.
В динамическом же режиме, когда изменяютсяа
и
,
коэффициенты
и
будут изменяться. В этом отличие
гармонической линеаризации от обычной.
(При обычной линеаризации коэффициент
линеаризованного уравненияК
зависит от точки линеаризации).
Зависимость коэффициентов линеаризации
от а
и
позволяет применить к НЛ САУ (6) методы
исследования линейных систем и
анализировать свойства НЛ САУ, которые
не могут быть обнаружены при обычной
линеаризации.
Коэффициенты гармонической линеаризации
некоторых типовых нелинейностей
Релейная характеристика
2.Релейная характеристика с зоной нечувствительности
,
Амплитуда колебаний
3.Релейная характеристика с петлей гистерезиса
,
,
4.Релейная характеристика с зоной нечувствительности и петлей гистерезиса
,
Теперь рассмотрим замкнутую систему.
,
Можно ввести понятие передаточной функции нелинейного элемента
,
.
Тогда характеристическое уравнение замкнутой САУ:
,
или
Когда в замкнутой системе возникают собственные незатухающие колебания постоянной амплитуды и частоты, то коэффициенты гармонической линеаризации становятся постоянными и САУ становится линейной. А в линейной системе наличие периодических незатухающих колебаний говорит о наличии у нее чисто мнимых корней.
Таким образом для
определения периодических
решений
надо в характеристическое уравнение
подставить
.
Здесь
- текущая частота, а
-
частота автоколебаний.
В этом уравнении
неизвестными являются
и
.
Выделим в этом уравнении действительную и мнимую части.
Введем для частоты
и амплитуды искомого периодического
решения обозначения
,
.
Получим два уравнения с двумя неизвестными.
Решив эти уравнения,
найдем
и
- амплитуду и частоту периодических
решений в НЛ САУ.
С помощью этих
уравнений можно определить не только
и
,
но и построить зависимость
и
,
например, от коэффициента усиления САУК
.
Тогда, считая К переменным, запишем:
Задаваясь К
,
находим
и
,
т.е
и
Можно выбрать К так, чтобы
1.
было бы мало,
2.
было бы неопасно для САУ,
3.автоколебаний не было бы.
С помощью этих же уравнений можно на плоскости двух параметров (например, Т и К ) построить линии равных значений амплитуды и частоты автоколебаний. Для этого уравнения переписывают:
Задаваясь числовыми
значениями
,
получим
и
По этим графикам можно выбирать Т и К.
Определение устойчивости решений в нелинейных САУ
Автоколебаниям в
НЛ САУ должны соответствовать устойчивые
периодические решения. Поэтому после
нахождения амплитуды
и частоты
периодических решений необходимо
исследовать их на устойчивость.
Рассмотрим приближенный метод исследования устойчивости периодических решений в НЛ САУ с помощью годографа Михайлова.
Пусть НЛ САУ
,
.
- получена с помощью метода гармонической
линеаризации.
Характеристическое уравнение замкнутой системы
Запишем уравнение
характеристической кривой (годографа
Михайлова), для чего подставим в него
.
- текущее значение
частоты вдоль годографа Михайлова,
- частота гармонической
линеаризации (автоколебаний).
Тогда для любых
заданных постоянных
и
кривая Михайлова будет иметь такой же
вид, как и для обыкновенных линейных
систем.
При периодических
решениях, соответствующих
и
,
годограф Михайлова будет проходить
через начало координат (т.к. система
находится на границе устойчивости).
Для
определения устойчивости периодических
решений дадим
приращение
Если при
кривая Михайлова займет положение 1, а
при
- положение 2, то
периодическое решение устойчиво.
Если при
кривая займет положение 2, а при
- положение 1, то периодическое решение
неустойчиво.
"Теория автоматического управления"
"Методы исследования нелинейных систем"
1. Метод дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной системы n-го порядка (рис. 1) можно преобразовать к системе n-дифференциальных уравнений первого порядка в виде:
где: – переменные, характеризующие поведение системы (одна из них может быть регулируемая величина); – нелинейные функции; u – задающее воздействие.
Обычно, эти уравнения записываются в конечных разностях:
где – начальные условия.
Если отклонения не большие, то эту систему можно решать, как систему алгебраических уравнений. Решение можно представить графически.
2. Метод фазового пространства
Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0).
Движение системы определяется изменением ее координат - в функции времени. Значения в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 2).
Фазовым пространством называется пространство координат системы.
С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией. Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом. Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).
Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.
Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.
Метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.
Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.
Применение метода фазовой плоскости для линейных систем
Проанализируем связь между характером переходного процесса и кривыми фазовых траекторий. Фазовые траектории могут быть получены либо путем интегрирования уравнения фазовой траектории, либо путем решения исходного дифференциального уравнения 2-го порядка.
Пусть задана система (рис. 3).
Рассмотрим свободное движение системы. При этом: U(t)=0, e(t)=– x(t)
В общем виде дифференциальное уравнение имеет вид
где 
(1)
Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка его характеристическое уравнение равно
. (2)
Корни характеристического уравнения определяются из соотношений
(3)
Представим дифференциальное уравнение 2-го порядка в виде системы
уравнений 1-го порядка:
(4)
где скорость изменения регулируемой величины.
В рассматриваемой линейной системе переменные x и y представляют собой фазовые координаты. Фазовый портрет строим в пространстве координат x и y, т.е. на фазовой плоскости.
Если исключим время из уравнения (1), то получим уравнение интегральных кривых или фазовых траекторий.
. (5)
Это уравнение с разделяющимися переменными
Рассмотрим несколько случаев
Файлов GB_prog.m и GB_mod.mdl, а анализ спектрального состава периодического режима на выходе линейной части – при помощи файлов GB_prog.m и R_Fourie.mdl. Cодержание файла GB_prog.m: %Исследование нелинейных систем методом гармонического баланса %Используемые файлы: GB_prog.m, GB_mod.mdl и R_Fourie.mdl. %Используемые обозначениЯ: НЭ – нелинейный элемент, ЛЧ – линейнаЯ часть. %Очистка всех...
Безынерционный в допустимом (ограниченном сверху) диапазоне частот, при выходе за пределы которого он переходит в разряд инерционных. В зависимости от вида характеристик различают нелинейные элементы с симметричными и несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика, не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию относительно начала системы...
Рассмотрим химико-технологический объект, на вход которого поступает случайный сигнал и (/), а на выходе наблюдается случайный процесс у (/). При использовании корреляционных методов для идентификации линейных объектов с постоянными параметрами обычно полагают (или специально так подбирают тестовый сигнал), что случайные функции и (t) и у (t ) являются стационарными и стациопарно связанными в широком смысле, т. е. их математические ожидания постоянны, а авто- и взаимнокорреляционные функции являются функциями не двух, а одного аргумента, равного их разности.
При идентификации нелинейных динамических систем условия нормальности плотностей вероятности функций и (t) и у (t) и их совместной плотности вероятности, как правило, не выполняются, т. е. характеристики объекта определяются в условиях, когда совместные плотности вероятности функций и (t) и у (/) не гауссовы.
Следовательно, условная плотность вероятности функции у (t) относительно и (t) будет также не гауссовой. Регрессия выходной случайной величины относительно входной случайной функции при заданных значениях аргументов в общем случае нелинейна, а корреляция функций и (0 и у (t) гетероскедастична.
Таким образом, для идентификации нелинейных объектов уже недостаточно корреляционных методов, оперирующих математическими ожиданиями и корреляционными функциями случайных процессов. Ошибка в решении задачи идентификации нелинейного объекта корреляционными методами, используемыми для линейных систем, тем больше, чем сильнее регрессия функций у (t) относительно и (t) отличается от линейной и чем больше неравномерность математического ожидания условных дисперсий.
Задача идентификации нелинейных объектов, функционирующих в условиях случайных возмущений, представляет весьма сложную математическую проблему, которая в настоящее время находится в стадии разработки и еще далека до своего завершения. Тем не менее уже сейчас можно назвать ряд методов, которые хотя и нельзя считать исчерпывающими, однако дающие достаточно хорошее приближенное решение задачи идентификации нелинейных объектов статистическими методами. К таким методам можно отнести: 1) методы, основанные на использовании дисперсионной и взаимодисперсионной функций случайных процессов; 2) метод линеаризации нелинейной регрессии на участках гомоскедастич- ности математического ожидания условной дисперсии функции у (t) относительно и (t) 3) винеровский подход к идентификации нелинейных систем; 4) метод идентификации нелинейных систем, основанный на применении аппарата условных марковских процессов.
Кратко рассмотрим каждый из перечисленных методов.
1. Если зависимость между значениями случайных функций и (0 и у (t) нелинейная, то коэффициент корреляции между значениями случайной функции уже не может служить достаточно хорошим критерием для измерения тесноты связи между ними. Поэтому для характеристики связи между и и у используются
дисперсионные отношения , которые определяются через дисперсионные функции (2, 3].
Взаимная дисперсионная функция 0 yU (*, т) для действительных случайных функций у (t) и и (t) и автодисперсионная (дисперсионная) функция G„ K (*, т) для случайного процесса и (т) определяются соотношениями
где M { } - символ математического ожидания; M .
На основе определенных выше величин п уи, т| ук и R можно построить специальный TV-критерий для проверки гипотезы о линейности зависимости между сигналами у и и:
где п - число опытов; к - число интервалов в корреляционной таблице. Проверим с помощью TV-критерия гипотезу о линейности связи между y t и и т для объекта, рассмотренного в §6.4. Функция
N (т), построенная по входной и выходной реализациям системы, изображена на рис. 8.2 . В данном случае задача идентификации сводится к поиску неизвестных параметров объекта, которыми служат коэффициенты оператора в гильбертовом пространстве. Сигнал на входе системы раскладывается в^ряд подфункциям Лагерра:
с коэффициентами
Рис. 8.3.
Рис. 8.4.
Здесь п -я функция Лагерра g n (t) строится в виде произведения полинома Лагерра l n (t) на экспоненту:
Заметим, что изображение по Лапласу полиномов Лагерра па основании (8.19) имеет вид
Отсюда видно, что необходимые коэффициенты Лагерра можно получить, пропуская сигнал и (t) через цепочку линейных динамических звеньев (см. рис. 8.3).
Оператор нелинейной системы представляется в виде разложения по полиномам Эрмнта:
которые ортогональны на действительной оси - оо t . Из полиномов Эрмита строятся функции Эрмита:
с помощью которых оператор перехода от коэффициентов Лагерра входного сигнала к выходному сигналу записывается в виде
Соотношение (8.20) справедливо для любого нелинейного объекта и может быть положено в основу его идентификации. Методика идентификации значительно упрощается, если на вход подавать специальный сигнал в виде гауссового белого шума. В этом случае функции Лагерра представляют собой некоррелированные гауссовы случайные процессы с равными дисперсиями. При этом определение коэффициентов... к сводится к нахождению взаимнокорреляционной функции выхода системы и полиномов Эрмита:
Определение коэффициентов b { j ... к завершает решение задачи идентификации. Общая схема вычислений показана на рис. 8.4.
При решении задач идентификации химико-технологических объектов рассмотренный метод имеет ограниченное применение по ряду причин. К последним можно отнести, например, трудности, возникающие при переходе от коэффициентов b tj к к технологическим параметрам объекта. Метод не пригоден для нестационарных систем. Трудности реализации этой процедуры в режиме нормальной эксплуатации объекта также снижают эффективность метода. Наконец, необходимость усечения всех операций, связанных с предельными переходами, замена рядов конечными суммами являются источниками дополнительных вычислительных погрешностей.
4. Другой возможный подход к построению оптимальных фильтров нелинейных систем основан па использовании аппарата условных марковских процессов. Рассмотрим существо данного подхода на конкретном примере.
П р и м е р . Пусть полезный сигпал представляет собой прямоугольный импульс
момент появления которого t на отрезке 0 х Т требуется определить. Высота импульса А 0 и его длительность ч предполагаются известными. Сигнал, поступающий на объект, и (t)=s (*)+м> (*) есть сумма полезной составляющей s (0 и белого шума w (*), который описывается интегралом вероятности }
