Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкции из системы тел, соединенных, какими-нибудь связями. Связи, соединяющие части данной конструкции, будем называть внутренними в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в неё не входящими (например, с опорами).
Если после отбрасывания внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задачи статики решаются как для абсолютно твердого тела. Однако могут встречаться такие инженерные конструкции, которые после отбрасывания внешних связей не остаются жесткими. Примером такой конструкции является трехшарнирная арка. Если отбросить опоры А и В, то арка не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг шарнира С.
На основании принципа отвердевания система сил, действующих на такую конструкцию, должна при равновесии удовлетворять условиям равновесия твердого тела. Но эти условия, как указывалось, будучи необходимыми, не будут являться достаточными; поэтому из них нельзя определить все неизвестные величины. Для решения задачи необходимо дополнительно рассмотреть равновесие какой-нибудь одной или нескольких частей конструкции.
Например, составляя условия равновесия для сил, действующих на трехшарнирную арку, мы получим три уравнения с четырьмя неизвестными Х А, Y A , X B , Y B . Рассмотрев дополнительно условия равновесия левой (или правой) ее половины, получим еще три уравнения, содержащие два новых неизвестных Х С, Y С, на рис. 61 не показанных. Решая полученную систему шести уравнений, найдем все шесть неизвестных.
14. Частные случаи приведения пространственной системы сил
Если при приведении системы сил к динамическому винту главный момент динамы оказался равным нулю, а главный вектор отличен от нуля, то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, причем центральная ось является линией действия этой равнодействующей. Выясним, при каких условиях, относящихся к главному вектору Fp и главному моменту М 0 , это может быть. Поскольку главный момент динамы М* равен составляющей главного момента М 0 , направленной по главному вектору, то рассматриваемый случай М* =О означает, что главный момент М 0 перпендикулярен главному вектору, т. е. / 2 = Fo*M 0 = 0. Отсюда непосредственно вытекает, что если главный вектор F 0 не равен нулю, а второй инвариант равен нулю, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7.9)то рассматриваемая система приводится к равнодействующей.
В
частности, если для какого-либо центра
приведения F 0 ≠0,
а М 0
= 0, то это означает, что система сил
приведена к равнодействующей,
проходящей через данный центр приведения;
при этом условие (7.9) также будет
выполнено.Обобщим приведенную в главе
V
теорему о моменте равнодействующей
(теорему Вариньона) на случай
пространственной системы сил.Если
пространственная система
.
сил
приводится к равнодействующей, то
момент равнодействующей относительно
произвольной точки равен геометрической
сумме моментов всех сил относительно
той же точки.
П
усть
система сил имеет равнодействующуюR
и точка О
лежит
на линии действия этой равнодействующей.
Если приводить заданную систему сил к
этой точке, то получим, что главный
момент равен нулю. 
Возьмем
какой-либо другой центр приведения О1;
(7.10)С
другой стороны, на основании формулы
(4.14) имеемMo1=Mo+Mo1(Fo),
(7.11) т.к М 0
= 0. Сравнивая выражения (7.10) и (7.11) и
учитывая, что в данном случае F 0
= R,
получаем
(7.12).
Таким образом, теорема доказана.
Пусть при каком-либо выборе центра приведения Fo=О, М ≠0. Так как главный вектор не зависит от центра приведения, то он равен нулю и при любом другом выборе центра приведения. Поэтому главный момент тоже не меняется при перемене центра приведения, и, следовательно, в этом случае система сил приводится к паре сил с моментом, равным M0 .
Составим теперь таблицу всех возможных случаев приведения пространственной системы сил:
Если все силы находятся в одной плоскости, например, в плоскости Оху, то их проекции на ось г и моменты относительно осей х и у будут равны нулю. Следовательно, Fz=0; Mox=0, Moy=0. Внося эти значения в формулу (7.5), найдем, что второй инвариант плоской системы сил равен нулю.Тот же результат мы получим и для пространственной системы параллельных сил. Действительно, пусть все силы параллельны оси z . Тогда проекции их на оси х и у и моменты относительно оси z будут равны 0. Fx=0, Fy=0, Moz=0
На основании доказанного можно утверждать, что плоская система сил и система параллельных сил не приводятся к динамическому винту.
1
1.
Равновесие
тела при наличии трения скольжения
Если
два тела / и // (рис. 6.1) взаимодействуют
друг с другом, соприкасаясь в точке А,
то
всегда реакцию R A ,
действующую, например, со стороны
тела // и приложенную к телу /, можно
разложить на две составляющие: N.4,
направленную по общей нормали к
поверхности соприкасающихся тел в
точке Л, и Т 4 ,
лежащую в касательной плоскости.
Составляющая N.4
называется нормальной
реакцией,
сила
Т л
называется силой
трения скольжения -
она
препятствует" скольжению тела / по
телу //. В соответствии с аксиомой 4
(3
з-он Ньютона) на тело // со стороны тела
/ действует равная по модулю и противоположно
направленная сила реакции. Ее составляющая,
перпендикулярная касательной плоскости,
называется силой
нормального давления.
Как
было сказано выше, сила трения Т
А
=
О,
если соприкасающиеся поверхности
идеально гладкие. В реальных условиях
поверхности шероховаты и во многих
случаях пренебречь силой трения
нельзя.Для выяснения основных свойств
сил трения произведем опыт по схеме,
представленной на рис. 6.2, а.
К
телу 5, находящемуся на неподвижной
плите D,
присоединена перекинутая через блок С
нить, свободный конец которой снабжен
опорной площадкой А.
Если
площадку А
постепенно
нагружать, то с увеличением ее общего
веса будет возрастать натяжение нити
S
,
которое
стремится сдвинуть тело вправо. Однако
пока общая нагрузка не слишком велика,
сила трения Т будет удерживать тело В
в
покое. На рис. 6.2, б
изображены
действующие на тело В
силы,
причем через Р обозначена сила тяжести,
а через N
- нормальная реакция плиты D
.
Если
нагрузка недостаточна для нарушения
покоя, справедливы следующие уравнения
равновесия:
N
-
P
= 0,
(6.1)
S-T
= 0. (6.2).Отсюда следует, что N
=
P
и
T
= S.
Таким образом, пока тело находится в
покое, сила трения остается равной силе
натяжения нити S.
Обозначим через Tmax
силу
трения в критический момент процесса
нагружения, когда тело В
теряет
равновесие и начинает скользить по
плите D
.
Следовательно,
если тело находится в равновесии, то
T≤Tmax.Максимальная
сила трения Т
тах
зависит
от свойств материалов, из которых
сделаны тела, их состояния (например,
от характера обработки поверхности),
а также от величины нормального
давления
N.
Как
показывает опыт,
максимальная
сила трения приближенно пропорциональна
нормальному давлению, т. е.
имеет
место равенство
Tmax
=
fN
.
(6.4).Это
соотношение носит название закона
Амонтона - Кулона.
Безразмерный
коэффициент / называется коэффициентом
трения скольжения.
Как
следует из опыта, его величина
в широких пределах не зависит от площади
соприкасающихся поверхностей,
но
зависит
от материала и степени шероховатости
соприкасающихся поверхностей.
Значения коэффициентов трения
устанавливаются опытным путем и их
можно найти в справочных таблицах.
Неравенство" (6.3) можно теперь записать
в виде T≤fN
(6,5).Случай
строгого равенства в (6.5) отвечает
максимальному значению силы трения.
Это значит, что силу трения можно
вычислять по формуле T
=
fN
только
в тех случаях, когда заранее известно,
что имеет место критический случай. Во
всех же других случаях силу трения
следует определять из уравнений
равновесия.Рассмотрим тело, находящееся
на шероховатой поверхности. Будем
считать, что в результате действия
активных сил и сил реакции тело находится
в предельном равновесии. На рис. 6.6, a
показана
предельная реакция R
и ее составляющие N и Т тах
(в положении, изображенном на этом
рисунке, активные силы стремятся сдвинуть
тело вправо, максимальная сила трения
Т та х
направлена влево). Угол
ф
между
предельной реакцией
R
и
нормалью к поверхности называется
углом трения.
Найдем
этот угол. Из рис. 6.6, а имеем
tgφ=Tmax/N
или,
пользуясь выражением (6.4),
tgφ=
f
(6-7)Из этой формулы видно, что вместо
коэффициента трения можно задавать
угол трения (в справочных таблицах
п
риводятся
обе величины).
Система сил наз.уравновешенной ,если под действием этой системы тело остается в покое.
Условия равновесия:
Первое условие равновесия твердого тела:
Для равновесия твердого тела необходимо, чтобы сумма внешних сил, приложенных к телу, была равна нулю.
Второе условие равновесия твердого тела:
При равновесии твердого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равно нулю.
Общее условие равновесия твердого тела
:
Для равновесия твердого тела должны равняться нулю сумма внешних сил и сумма моментов сил, действующих на тело. Должны быть также равны нулю начальная скорость центра масс и угловая скорость вращения тела.
Теорема. Три силы уравновешивают твёрдое тело только в том случае, когда все они лежат в одной плоскости.
11. Плоская система сил – это силы, расположенные в одной плоскости.
Три формы уравнений равновесия для плоской системы:
Центр тяжести тела.
Центром тяжести тела конечных размеров называется точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести всех частиц тела равна нулю. В этой точке приложена сила тяжести тела. Центр тяжести тела (или системы сил) обычно совпадает с центром масс тела (или системы сил).
Центр тяжести плоской фигуры:
Практический способ нахождения центра масс плоской фигуры : подвесим тело в поле тяжести так, чтобы оно могло свободно поворачиваться вокруг точки подвеса O1 . В равновесии центр масс С находится на одной вертикали с точкой подвеса (ниже ее), так как равен нулю
момент силы тяжести, которую можно считать приложенной в центре масс. Изменяя точку подвеса, таким же способом находим еще одну прямую О 2 С , проходящую через центр масс. Положение центра масс дается точкой их пересечения.
Скорость центра масс:
Импульс системы частиц равен произведению массы всей системы М=Σmi на скорость ее центра масс V :
Центр масс характеризует движении системы как целого.
15. Трение скольжения – трение при относительном движении соприкасающихся тел.
Трение покоя – трение при отсутствии относительного перемещения соприкасающихся тел.
Сила трения скольжения Fтр между поверхностями соприкасающихся тел при их относительном движении зависит от силы нормальной реакции N , или от силы нормального давления Pn , причем Fтр=kN или Fтр=kPn , где k – коэффициент трения скольжения , зависящий от тех же факторов, что и коэффициент трения покоя k0 , а также от скорости относительного движения соприкасающихся тел.
16. Трение качения – это перекатывание одного тела по другому. Сила трения скольжения не зависит от величины трущихся поверхностей, а только от качества поверхностей трущихся тел и от силы, снижающей трущиеся поверхности и направленной перпендикулярно к ним. F=kN , где F – сила трения, N – величина нормальной реакции и k – коэффициент трения при скольжении.
17. Равновесие тел при наличии трения - это максимальная сила сцепления пропорциональная нормальному давлению тела на плоскость.
Угол между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции, и направлением нормальной реакции, называется углом трения.
Конус с вершиной в точке приложения нормальной реакции шероховатой поверхности, образующая которого составляет угол трения с этой нормальной реакцией, называется конусом трения.
Динамика.
1. Вдинамике рассматривается влияние взаимодействий между телами на их механическое движение.
Масса - это малярная характеристика материальной точки. Масса постоянна. Масса адьетивна (складывается)
Сила – это вектор, который полностью характеризует взаимодействие на ней материальной точки с другими материальными точками.
Материальная точка – тело, размеры и форма которого несущественны в рассматриваемом движении.(ex: в поступательном движении твердое тело можно считать материальной точкой)
Системой материальных точек наз. множество материальных точек, взаимодействующих между собой.
1 закон Ньютона: любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия не изменят этого состояния.
2 закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой в инерциальной системе отсчета, прямо пропорционально действующей на точку силе, обратно пропорционально массе точки и по направлению совпадает с силой: a=F/m
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Устойчивое равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, возвращается в прежнее положение.
Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия. Например, шарик, лежащий на дне сферического углубления (рис.1 а).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неустойчивое равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, будет еще больше отклоняться от положения равновесия.
В данном случае при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия. Примером может служить шарик, находящийся в верхней точке выпуклой сферической поверхности (ри.1 б).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Безразличное равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, не меняет своего положения (состояния).
В этом случае при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю. Например, шарик, лежащий на плоской поверхности (рис.1,в).
Рис.1. Различные типы равновесия тела на опоре: а) устойчивое равновесие; б) неустойчивое равновесие; в) безразличное равновесие.
Статическое и динамическое равновесие тел
Если в результате действия сил тело не получает ускорения, оно может находиться в состоянии покоя или двигаться равномерно прямолинейно. Поэтому можно говорить о статическом и динамическом равновесии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Статическое равновесие - это такое равновесие, когда под действием приложенных сил тело находится в состоянии покоя.
Динамическое равновесие - это такое равновесие, когда по действием сил тело не изменяет своего движения.
В состоянии статического равновесия находится подвешенный на тросах фонарь, любое строительное сооружение. В качестве примера динамического равновесия можно рассматривать колесо, которое катится по плоской поверхности при отсутствии сил трения.
Статика.
Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.
Равновесие сил.
Механическое равновесие , также известно как статическое равновесие, — состояние тела, находящегося в покое, или движущегося равномерно, в котором сумма сил и моментов, действующих на него, равна нулю
Условия равновесия твердого тела.
Необходимым и достаточными условиями равновесия свободного твердого тела является равенство нулю векторной суммы всех внешних сил, действующих на тело, равенство нулю суммы всех моментов внешних сил относительно произвольной оси, равенство нулю начальной скорости поступательного движения тела и условие равенства нулю начальной угловой скорости вращения.
Виды равновесия.
Равновесие тела устойчиво , если при любых допускаемых внешними связями малых отклонениях от положения равновесия в системе возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в исходное состояние.
Равновесие тела неустойчиво , если хотя бы при некоторых допускаемых внешними связями сколько угодно малых отклонениях от положения равновесия в системе возникают силы или моменты сил, стремящиеся еще больше отклонить тело от исходного состояния равновесия.
Равновесие тела называется безразличным , если при любых допускаемых внешними связями малых отклонениях от положения равновесия в системе возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в исходное состояние
Центр тяжести твердого тела.
Центром тяжести
тела называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.
В постоянном параллельном (однородном) гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Поэтому на практике эти два центра почти совпадают (так как внешнее гравитационное поле в некосмических задачах может считаться постоянным в пределах объёма тела).
По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (так как реального гравитационного поля нет и не имеет смысла учёт его неоднородности). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.
